这两条有趣悖论 你能否解开其中之谜

新浪科技
2020-07-31

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新浪科技2020-07-31

北京时间7月31日消息,今年外刊《Quanta》发表了两条悖论,看读者们能否解开。这两条悖论如果细细推敲,其实都站不住脚。但要说明它们究竟为何站不住脚,又是个很有意思的过程。相信很多读者在写长长的回复时已经发现了这一点。

悖论1

第一条悖论描述的是一台违反了热力学第二定律的永动机,大致如插图所示:

E1和E2为两个同心椭圆,焦点分别为A和B。S1和S2为两段圆弧,圆心为B。由于S1和S2圆心相同,从B点到S1和S2的任意一条连线都是圆的半径,因此与内表面正交。该图形为一个中空物体的横截面,而该物体是该图形的旋转体。该物体的内表面经过镀银处理,反射率达100%(或根据实际情况尽可能接近这一比例)。A点和B点处为两个由热电材料制成的小型球形黑体,各有细电线与外部电极相连。整个结构完全密闭。

要了解更多细节,请点击原网址puzzle column。简单来说,该物体的几何学性质决定,A点处黑体释放的所有辐射都会落到B点处黑体上、并被后者100%吸收,因为A、B两点都是椭圆E1和E2的焦点。然而,B发出的一大部分射线都会落在圆弧S1和S2上、然后被反射回B点。因此,如果开始时该物体各处温度相同,最终B从A接收到的射线将多于A从B接收到的射线,因此B的温度会高于A,产生温度梯度。只要我们将电极连接到电路上,便可利用这一温度梯度获取能量。而如果两个黑体的温度变得一致了,只需要等上片刻、待上述过程周而复始,我们就能获得取之不尽、用之不竭的能源了!

这个“椭圆体悖论”早在1959年便已被人提出,有多种由不同椭圆构成的形式。当然,这个设想并不可行,但尽管多年来已有数篇论文提出驳斥,它偶尔还是会被提上台面、被人们认真讨论一番。

悖论是错误思维习惯的体现。在这个悖论中,我们的主要思想错误是,默认现实世界中的问题可以由抽象的几何学解决。虽然几何学大部分情况下都很有用,但就像其它数学领域一样,它总喜欢利用一些理想化的概念,比如设想一个没有维度的点,即物理学中所谓的“质点”、“点粒子”等。这些抽象概念有时非常有用,比如在引力理论中就发挥了很大作用。我们知道,现实世界中的带质量物体的行为并不会与质点完全相同,但可以说大致相同;现实世界中的抛射物也不会严格按抛物线运动,但对于各种实际用途来说,已经足够接近了。而我们已经被这些“差不多”取得的成功案例惯坏了,所以当偶尔遇到近似法失效、理想化得出的结果定性错误时,就会呈现为所谓的悖论。以上描述的椭圆体如果放在一个点粒子的世界中,上述设想完全可以成立,因为从椭圆的一个焦点发出的所有射线都会被准确反射到另一个焦点上。但只要把点粒子换成现实世界中的物体,无论有多小,这套系统都会失灵,也就意味着“近似法”的失效。在零体积和任何有限物体中都存在着无法逾越的鸿沟。具体可以看以下插图:

A点和B点处有两个大小相同的小球。虚线AP和BP在E1上交于同一点P。现想象有一条射线QP从球体A表面的Q点沿切线方向射出,接触到E1后,从P点沿PR方向反射出去。根据反射定律,角APQ和角BPR大小相同。角AQP为直角(因为QP为切线),因此角BRP也是直角。因此,金色三角形和紫色三角形为相似三角形。由于紫色三角形远大于金色三角形,显然BR远长于AQ,而BR和AQ分别为两个球体的半径。因此,射线PR会与B处球体大距离错过。事实上,由A处物体发出并击中E1的射线中,显然有一大部分会错过B处大小类似的物体,B处物体发出的射线也是同理。因此,不管这两处物体有多小,前文提到的“A处物体发出的射线会100%被B处物体吸收”的结论在现实世界中都完全不成立。你瞧,我们恰恰是用几何学破除了由几何学思维习惯得出的错误结论。

接着往下看,既然两处物体发出的射线中,有许多都会与对方失之交臂,那这些射线又去了哪儿呢?它们会在物体内壁四处反弹,最终大多数都会被A或B处物体吸收,只有少数射线可能会永远反弹下去。如果两个物体温度相同,最终从A到B的射线数量将与从B到A的射线数量完全相同。我们是如何得知这一点的呢?在这篇论文中,我们建立了一套计算机模型,进行了大量计算,结果显示两个方向的射线数量最终会达到一致。

为何会产生这样的结果呢?这背后有一条简单的原则:可逆性。假如有一条射线从A处发出,在物体内部来回反弹了100次左右,最终以某个角度击中了B,那么从B处同一点以同一角度发出的射线也会以反方向走完同一条运动路径、最终击中A。因此,如果射线在物体内部的各个方向上都会发生反弹和吸收,A和B最终便会交换数量相同的射线。至于那些从S1或S2反弹回B的射线、或者会永远反弹下去的射线,我们并不需要担心。讽刺的是,热力学第二定律决定了世界的不可逆性,但在微观层面上,却又偏偏是可逆性保障了该定律的成立。

有几名读者正确地指出,该悖论对有限物体不成立。还有读者用示意图描述了假如A和B为球体,则A发出的部分射线将与B失之交臂。

还有一些读者指出,就算这套设备能运行起来,两处物体的温度也会逐渐下降,最终两者的温差会降低到零。假如这套设备可行的话,这种说法的确没错。但这样一来,你就要将该设备制作成可开合的样式,将其打开、恢复到室温,然后才能重新运作。

还有读者提到了量子效应、以及制作完美镜面的不可能性。这两个问题也许会降低该设备的效率,但并不是它不成立的理由。

悖论2

请想象有如下约定:

本次专栏问题的答案一定会在五月份发表在《Quanta》杂志上。

为解答这个问题,我们将一周定义为始于周一、终于周日,五月的每一天都属于五周中的某一周(一个半周加四个整周)。我们先在此声明,你无法预测本次专栏的答案会在这五周中的哪一周发表。

据我们所知,该杂志的读者们都很聪明。假设有一名读者做出了如下推理:“假如答案到第四周结束时仍未发表,那么我就能肯定地预测,它会在第五周发表。而这与前述声明相矛盾,因此它无法在第五周发表。但如果答案无法在第五周发表,并且直到第三周的周末仍未发表,那么我就能肯定,它会在第四周发表。因此根据前述原因,它也无法在第四周发表。根据同一逻辑可以证明,答案在第三周、第二周和第一周都无法发表。因此,该专栏的答案根本不可能发表!”

那么,这段推理究竟站得住脚吗?如果站得住或者站不住,原因又分别是什么呢?假如有那么一丁点可能性(假设概率为0.001)、该专栏的答案不会发表(比如因为新冠疫情、或者金融系统崩溃、无法开展任何商业活动),情况又会如何呢?假设之前说的“一定”变成了“概率为99%及以上”,结论会有所改变吗?

这是一个经典悖论的一种版本,该悖论还有其它形式,如“意外绞刑悖论”或“意外考试悖论”,两者都与未来的某起无法准确预测时间的事件有关。这些悖论的措辞因为有些模棱两可,长时间以来备受批评。因此《Quanta》杂志在发表该悖论时,先对“一定”的概念作了一番界定。

然而,有些读者仍然认为问题描述含糊不清,并对这种模棱两可进行了深挖细凿。如果对以上陈述做点改进,可以说“我在此声明,你无法通过逻辑正确预测出答案将在五周中的哪一周发表。”还有些读者指出,该杂志没有说明“答案会在2020年五月发表”。虽然没有明确给出年份,但下一个符合这种周数排列规律的年份将是2026年。对于公布一道谜题的答案来说,这个时间恐怕太长了些。

不过,这些反驳都不足以说明这个问题不成立。这类问题总存在含糊不清之处,不仅是因为问题的措辞,还因为其中总是暗含着一些假设。如果要把每一点都事无巨细地说清楚,那谜题看上去就不是谜题、而是一份法律文件了。不过,这个问题中还是有两点必须澄清,否则就没有意义了。

问题中的“一定”是指客观的、符合逻辑的确定性,是在“所有声明均为真”这个假定的基础上做出的推论,而不仅仅是一种感觉。

你只有一次机会给出肯定的答案,并且答案必须明确指出哪一周。如果你肯定地说,答案会在某一周发表,结果预测失败,那么游戏就结束了,你不能再进行第二次预测。如果不做这一规定,这个问题就会变得荒谬可笑。

这个悖论的经典版本(意外绞刑悖论和意外考试悖论)中还暗含着一个假设:每一天结束时都有一个时间段,期间不会执行绞刑或考试。这是由工作和上学时间决定的。而《Quanta》杂志的文章都是网上发表,故不存在这种限制。但可以假设有一个截止时间,比如每天晚上8点之后、网站不会发表新文章。这样一来,读者就有时间对下一周进行预测,而不用担心文章刚好在自己做出预测的同一时间发表了。

这个版本的悖论与两个经典版本在本质上完全相同。我们可以达成共识,前述推论中的第一条是正确的,即如果答案截止到第四周周末的晚上8点仍未发表,则读者可以确定,它将在第五周发表。然而,接下来针对前三周的归纳推理就站不住脚了。你不能根据未来有可能为真的情况、对过去进行推断。换句话说,虽然“若答案到第四周末仍未发表,则必在第五周发表”的确是事实,但这一点与你在月初、甚至第一周末、第二周末或第二周末所知的情况毫无关系。一直到第四周结束时,你才能肯定答案在前四周里均未发表。因此作者要想回避这个悖论,只需要利用某种读者不知道的随机算法决定在哪周发表答案即可。

有两名读者考虑了一种网站发表文章没有时间限制的情况,并给出了一种很有创意的解决方案。他们的论证还是站得住脚的,只有一个缺陷。他们指出,文章可以在第四周结束时的最后一瞬间发表、也可以在第五周刚开始的头一刻发表。假如是前一种情况,那么读者不管在第四周多晚时预测文章会在第五周发表、该预测都是错的;类似地,假如读者在第五周刚开始的一瞬间预测文章将在第五周发表,该预测同样无效,因为文章在预测的同时已经发表了。这番论证非常机智!只有一个缺陷:必须就每周结束时的最后一刻和开始时的头一刻达成共识,无论是一分钟、一秒钟、一毫秒还是一纳秒,都必须是一个离散的时间。我们不能将时间当成一种连续的存在,否则就会陷入持枪决斗那样的境地,双方都想让自己掏枪射击(一方是文章发表,另一方则是做出预测)的时间比对方更接近午夜。事实上,真实的情况可能更像胆小鬼游戏,因为双方在等待时都会屏息凝神、战战兢兢。这种情境想象起来挺有趣的,但还好不用变成现实。

(还有人提出,假如文章刚好在周日和次周周一之间的午夜时分发表,那么就很难说这篇文章究竟是在哪一周发表的了。但这个论证是错误的。因为从传统意义上来说,午夜指的是次日的开始。)

至于这个问题的最后一部分,即假如将“一定”定义为“概率大于99%”,作者之所以加上了这么一条,是因为我们知道在现实世界中,没有什么事情是百分之百确定的。出于实际目的考虑,我们说到“一定”时,往往是忽略了那些概率极低的意外情况发生的可能性。本文所说的情况并不会受到影响,因为给定的文章无法发表的概率太小、仅为0.001,文章发布的概率显然远高于这一数字。